Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang 0^{\circ} sampai dengan 360^{\circ} atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.


Jenis jenis persamaan trigonometri ... 

1.persamaan sinus


Jika \sin px = \sin a dengan p dan a dalah konstanta, maka

  • Dalam bentuk derajat:

x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}


  • Dalam bentuk radian:

x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}

x_2 = \frac{(\pi - a)}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}


2. Cosinus

Jika \cos px = \cos a dengan p dan α adalah konstanta, maka:

  • Dalam bentuk derajat:

x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}

  • Dalam bentuk radian:

x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (2\pi)}{p}

3. Tangen

Jika⁡ \tan px = \tan a dengan p dan a adalah konstanta, maka

  • Dalam bentuk derajat:

x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 180^{\circ}}{p}

  • Dalam bentuk radian:

x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (\pi)}{p}

Contoh soal persamaan trigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

\sin (x+ \frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{4}\sqrt{2}; 0 \le x \le 2\pi

Pembahasan

\sin (x+\frac{\pi}{4})

Dibuat kedalam bentuk

2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)

Dengan

(2)sin(x+\frac{\pi}{4}) \cos x = (2)(\frac{1}{4}\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}

Menjadikan

\sin((x+\frac{\pi}{4}) + x) + \sin ((x + \frac{\pi}{4}) - x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}

\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + \sin (\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}

\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{1}{2}\sqrt{2})

\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 0

\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = \sin 0

Sehingga

(2x + \frac{\pi}{4}) = 0 + k \cdot (2\pi)

2x = -\frac{\pi}{4} + k \cdot (2\pi)

x_1 = -\frac{\pi}{8} + k \cdot (\pi)

atau

(2x + \frac{\pi}{4}) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)

2x = (\pi - \frac{\pi}{4}) + k \cdot (2\pi)

x_2 = (\frac{3\pi}{8}) + k \cdot (\pi)

Himpunannya,

k = 0 \rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{8}

k = 1\rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{8}

\rightarrow x_2 = \frac{11\pi}{8}

k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{15\pi}{8}

Himpunan penyelesaiannya adalah:

(\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}, \frac{15\pi}{8})


Komentar

Posting Komentar